методика решения логарифмических неравенств в школьном курсе математики

Содержание

ЕГЭ.

огарифмические неравенства» в школьном курсе математики.

.

;

;

фмическая функция и ее свойства

.

;

;

;

Равносильные переходы

.

;

Непосредственное логарифмирование и потенцирование

.

;

;

ля под знак логарифма

.

;

;

Замена неизвестных

.

;

снованию

.

.

Эффективность методов решения логарифмических неравенств. Выводы.

Список литературы.

Изобретение логарифмов, сократив

работу астронома, продлило ему жизнь.

Лаплас

 

 

Вступление

 

диному Государственному экзамену

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2012 года даёт представление о структуре контрольных измерительных материалах, количестве заданий, их форме, уровне сложности. Структура работы приведена в спецификации, а полный перечень вопросов в кодификаторах требований и элементов содержания по математике.

: базовом, где задачи берутся из открытого банка заданий, и профильном, где предполагается более глубокое знание математики.

В связи с этим, для успешной сдачи экзамена в форме ЕГЭ, перед учителем встает задача: спланировать изучение данной темы таким образом, чтобы учащиеся получили максимальный объем информации, успели закрепить навыки на достаточном количестве примеров. А осознав изученный материал, расширили набор упражнений, порой не вошедших в школьный учебник.

в ЕГЭ по данной теме.

 

Основная часть

 

ва» в школьном курсе математики

 

у «Логарифмические неравенства»

и

До появления компьютеров логарифмы широко использовались для выполнения вычислений и детально изучались в школе. Теперь же их роль стала вспомогательной, а изучение в школе не стало столь подробным.

м о в

Это равенство является краткой символической записью определения логарифма.

отсюда и следует свойство логарифма произведения

, где

, нужно использовать формулу перехода.

е

с т в а

. Для более точного построения графика полезно составить таблицу некоторых ее значений.

Свойства логарифмической функции будут активно использоваться при решении логарифмических уравнений и неравенств.

.

При решении логарифмических уравнений и неравенств выполняются различные их преобразования. При этом часто нарушается равносильность. Поэтому при решении логарифмических уравнений необходима проверка найденных корней, т.к. проверку решения неравенства осуществить сложно, а в ряде случаев невозможно.

 

Особенности работы с логарифмическими неравенствами

 

с т в а

Остановимся более подробно на решении логарифмических неравенств.

чтобы научиться решать неравенства, следует прежде хорошо разобраться во всех вопросах, связанных с решением уравнений. При этом многие понятия и факты, относящиеся к уравнениям, оказываются применимыми и к неравенствам.

, которые при подстановке в неравенство дают верное соотношение. Такие значения называются решениями. Требования к тексту решения в случае неравенств остаются такими же, как и для уравнений.

и

с т в

Процесс решения неравенства, в идеале, это цепочка равносильных переходов от исходного неравенства к такому неравенству, множество решений которого известно или легко может быть найдено.

, аккуратно следить за тем, чтобы не выйти за ОДЗ исходного неравенства или не потерять его часть.

В школьной программе уже был изучен материал о равносильных уравнениях и неравенствах. К тому же к 10 классу у большинства учащихся уже сформированы зрелые аналитические мыслительные умения. Полезно перед изучением темы «Логарифмические неравенства» повторить на конкретных примерах известные учащимся равносильные преобразования неравенств.

Сделать это можно, например, на следующих тестах.

Тест №1.

предложений. Укажите эту пару.

 

 

 

 

Тест №2.

Укажите этот пример.

 

 

 

 

и е к

с т в а м

Перечислим теперь наиболее распространенные преобразования, приводящие к равносильным неравенствам. Они тесно связаны со свойствами числовых неравенств.

.

(то изменив знак неравенства на противоположный, получим неравенство, равносильное исходному).

.

.

Перечислим теперь наиболее сложные случаи.

1) Как и при решении уравнений, неприятности могут происходить в точках обращения в ноль общего множителя левой и правой части.

такие значения являются решениями.

.

3) При решении неравенств (особенно иррациональных) части возникает необходимость возведения обеих частей неравенства в квадрат (четную степень). Это самая опасная ситуация, т.к.

четную степень), сохраняя знак неравенства;

противоположный;

и проводить решение для них отдельно.

 

ы

Внешнее сходство уравнений и неравенств, а также близость методов их решения создают у некоторых уверенность в том, что вместо неравенства лучше сначала рассмотреть равенство левой и правой части, а затем изучить их знаки. Хотя этот прием и позволяет правильно решать неравенства, но на практике он скорее приводит к неверному решению, нежели к его упрощению.

Логическая сторона решения неравенств более содержательна оп сравнению с уравнениями: ведь теперь изучать приходится не только равенство выражений, но и знаки между ними.

актически не пригоден. Рекомендуется использовать метод равносильных преобразований или метод развивающий идею подбора.

Из строгой монотонности логарифмической функции следует равносильность таких переходов:

1)

 

 

Тест.

:

1)

2)

3)

4)

5)

Теперь приведем несколько примеров решения логарифмических неравенств.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

огарифмирование и потенцирование

 

х

м а

ю

в конце концов получить ответ в задаче. Поэтому важно научиться выполнять их в той или иной форме легко и безошибочно.

1) Отбрасывание в левой и правой частях неравенства логарифма по одному и тому же основанию.

При этом нужно помнить о следующем: при отбрасывании в неравенстве логарифма по основанию, меньше единицы, знак неравенства необходимо поменять. Этот факт вытекает из свойства монотонности логарифмической функции.

из двух добавленных согласно основному правилу условий непременно можно отбросить, если внимательно приглядеться к полученной системе.

Пример.

 

убывающая. Имеет место равносильный переход:

 

Ответ:

сложнее. Например, такого вида.

Пример.

Решить неравенство

 

 

 

+ + +

x

 

Ответ:

.

замечают, что основание второго логарифма уже меньше 1, и не поменяли знак неравенства при отбрасывании.

Пример.

Решить неравенство

 

 

+ +

x

 

Ответ:

 

и

а

 

и операция производится над неравенством, то знак неравенства меняется.

.

Пример.

 

 

Ответ:

Таким образом, неприятности, связанные с расширением ОДЗ при отбрасывании логарифмов, никуда не исчезают, а, наоборот, появляются в более завуалированном виде на следующем этапе.

Обычно учащиеся ошибаются в том, что не понимают, что именно в действительности делают: то ли отбрасывают логарифм, то ли дописывают основание – потенцируют.

.

 

 

Различные упрощения

на вопросы расширения или сужения ОДЗ и связанных с ними вопросов приобретения и потери решений. Но главный недостаток – это отсутствие ясного представления о целях производимых ими упрощений.

.

Рассмотрим случаи, когда приведение к такому виду можно осуществить.

е

м

м

.

.

 

 

Пример.

 

 

 

+ +

x

 

 

Ответ:

 

 

и

в

Эти преобразования производятся с помощью формул:

 

 

. Поэтому при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного следует добавлять ограничения на неизвестную величину, связанные с расширением ОДЗ.

, но в любом случае заведомо достаточно потребовать положительности обоих этих выражений (даже одного из них, т.к. их произведение или частное все еще находится под знаком логарифма).

Пример.

 

Преобразуем неравенство:

 

 

.

Решим второе неравенство системы:

Решение системы:

.

 

к

а

 

Эта операция предполагает использование формулы:

 

с чем возникает необходимость добавлять ограничения на неизвестную величину.

Еще более коварной является обратная операция – вынесение показателя степени за знак логарифма (ведущее иногда к сужению ОДЗ).

Пример.

 

Преобразуем неравенство:

 

левая часть неравенства имеет смысл:

 

или

.

Поэтому

 

 

 

.

-1.

Способы расщепления

 

и я

число его сомножителей отрицательно, а остальные положительны.

Для расщепления неравенства следует сначала аккуратно выписать все случаи, когда это неравенство справедливо, а затем решить каждую из имеющихся систем, объединив в ответе полученные множества решений. При этом попытки сэкономить работу на каких-то случаях, кажущихся при беглом изучении невозможными, особенно попытки заменить нестрогие неравенства строгими, чаще всего оборачиваются потерей решений.

Аналогично расщепляются неравенства, в которых какие-либо выражения стоят в знаменателе дроби.

Пример.

 

вообще невозможно.

Для расщепления неравенства нужно предварительно перенести все в одну его часть и разложить полученное выражение на множители.

 

 

в а л о в

Расщепление можно упростить, применив обобщенный метод интервалов. В некоторых задачах расщепление сопровождается более детальным разбором случаев.

Пример.

 

В большинстве случаев учащиеся рассматривают два случая:

2)

исходное неравенство приводится к виду

 

 

а значит, при его расщеплении возникает еще один случай

который дает решение 0. Именно это решение теряют учащиеся даже при безукоризненном исследовании первых двух случаев.

учащихся от деления неравенства на функцию и от всяческих «усовершенствований» основного правила расщепления неравенства.

.

 

 

 

 

х

подбирается по возможности так, чтобы относительно нее неравенство уже не было логарифмическим. В результате такой замены операции логарифмирования и потенцирования отодвигаются как бы на задний план, возникая только при нахождении значений исходной неизвестной по заданным значениям новой. Введению новой неизвестной обычно предшествует некоторая предварительная обработка исходного неравенства с использованием формул, а иногда и преобразований.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ю

 

о в о м у

ю

является случай, когда все основания представляют собой различные, но легко угадываемые степени одного и того же числа. Тогда переход во всех выражениях к одинаковому основанию не вызывает особых затруднений. Если же основания не связаны указанным способом, то некоторые учащиеся не берутся за задачу из-за психологической неподготовленности к такой ситуации. Однако для решения подобных задач не требуется никаких дополнительных знаний. Предполагается лишь умение переходить к новому основанию.

представляет собой тождество. Особое значение указанный способ приобретает при решении неравенств.

Пример.

 

Решение, использующее переход к новому основанию, сводит все трудности к вопросам обыкновенного расщепления неравенства.

 

Неравенство равносильно совокупности систем:

решений нет.

.

 

м а к

ю

 

.

Такой переход оказывается полезным также и при дифференцировании рассматриваемого выражения.

 

Обозначим

 

Неравенство равносильно совокупности систем:

1)

решений нет

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Метод интервалов для решения логарифмических неравенств.

 

.

ноль».

Рассмотрим такие условия равносильности, которые часто за один шаг сведут решение самых распространенных логарифмических неравенств к решению рациональных неравенств.

Пример.

 

 

+ — +

х

 

.

.

Рассмотрим теперь некоторые частные приемы решения логарифмических неравенств.

Частные приемы решения логарифмических неравенств.

Преимущество использования условий равносильности по сравнению с обычным способом решения даже простейших неравенств состоит в том, что мы не думаем о том, большим или меньшим 1 является основание. Кроме того, нет необходимости писать фразы о той или другой монотонности. Это особенно важно при решении тестов ЕГЭ, когда время для их решения ограничено.

Перечислим основные условия равносильности для решения логарифмических неравенств.

в ОДЗ.

в ОДЗ.

совпадает со знаком произведения

в ОДЗ.

в ОДЗ.

Пример.

 

Найдем ОДЗ:

 

 

 

 

ответ.

Ответ:

выражение являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов.

Заметим, что все условия равносильности формально точно такие же, как и для логарифмов с постоянным основанием, а потому легко запоминаются. Но, как показывает практика, полными условиями равносильности не всегда удобно пользоваться. Это происходит, если входящие в условия равносильности неравенства громоздки. Тогда удобно отделить нахождение ОДЗ от решения основного неравенства, что мы и сделали в примере.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

Эффективные методы решения

логарифмических неравенств. Выводы.

Напомнив некоторые основные понятия и свойства логарифмов, были разобраны основные приемы решения логарифмических неравенств. Они опирались на свойства логарифмической функции. Основной прием решения состоит в построении цепочки равносильных переходов. После нескольких переходов мы приходили к простейшему неравенству, системе или совокупности простейших неравенств.

Большинство разобранных задач взяты из тренировочных вариантов ЕГЭ и вариантов вступительных экзаменов на различные факультеты МГУ разных лет.

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы

 

. Логарифмические и показательные уравнения и неравенства. — М.: МГУ, 2003

С.И. Колесникова. Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ.- М.: АЙРИС ПРЕСС, 2006

Ф.Ф.Лысенко. Математика. Повторение курса в формате ЕГЭ. Рабочая программа для 11 класса. — Ростов-на-Дону: ЛЕГИОН-М, 2011

И.И. Мельников, И.Н. Сергеев. — Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. — М.: УНИВЕР-ПЕРСС

А.Л. Семенов, И.В. Ященко. ЕГЭ, универсальные материалы для подготовки учащихся. Математика. — М.: Интеллект-центр, 2011.

А.Л. Семенов, И.В. Ященко. ЕГЭ. Математика. Типовые экзаменационные материалы.- М.: Национальное образование, 2011

Н.Е. Федорова, М.В. Ткачева. Изучение алгебры и начал анализа 10-11.- М.: Просвещение, 2004г.

 

 

 

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *