Методика решения текстовых задач на производительность и грузоперевозки.

.

Существует несколько способов решения текстовых задач:

, то есть с помощью нескольких действий над числами, связанных между собой;

;

;

;

.

Текстовые задачи на производительность и грузоперевозки

 – расстояние, так и в задачах на производительность и грузоперевозки есть аналогичные элементы.

существуют:

 – производительность, аналог скорости, то есть количество работы, производимой в единицу времени;

 – время работы;

 – объём работы, аналог расстояния.

Все три элемента связаны друг с другом формулой: объём работы А равен произведению производительности p на время t.

А = p · t

 

:

, это есть масса груза, перевозимая одним транспортным средством;

 перевозчиков (машин, тележек, цистерн и т.д.);

 перевозимого груза.

Эти элементы связаны между собой формулой

М = m · n

Выбор переменной в текстовых задачах на производительность и грузоперевозки

Если в условии задачи не указаны единицы измерения работы, то весь объём работы и объём перевозимого груза удобнее обозначить за единицу, тогда производительность и грузоподъёмность будет измеряться в доле объёма работы и объёма груза в единицу времени.

Полезно также помнить, что производительность совместного труда нескольких участников и грузоподъёмность нескольких перевозящих средств равны сумме производительностей и сумме грузоподъёмностей соответственно.

. Сориентироваться в выборе переменной помогает главный вопрос задачи.

Примеры решения текстовых задач на производительность и грузоперевозки

, Шарик и почтальон Печкин смогут выкрасить забор за 1 час 15 минут, а Дядя Фёдор и Шарик справятся с работой за 1 час 40 минут. За сколько минут смогут выкрасить забор все четыре героя из Простоквашино?

:

. Так как в условии задачи не указаны единицы измерения работы, то логично объём работы покраски забора обозначить за 1 единицу. Тогда производительность работы:

Известно, что общая производительность каждого вида работы равна сумме производительностей каждого участника работы. Смоделируем условия задачи на геометрических фигурах:

     – производительность Дяди Фёдора,

,

     –производительность почтальона Печкина,

     –производительность Шарика.

Печкина.

, Шарика и почтальона Печкина.

     +       =1/100 (ед./мин) –производительность 1/100 единицы работы в минуту совместного труда Дяди Фёдора и Шарика.

Несложно заметить, что во всех трёх строках встречается по два прямоугольника каждого из четырёх цветов, следовательно, сложив соответственно левые и правые части, получаем, что удвоенная сумма всех четырёх производительностей равна

Чтобы найти производительность всех четверых участников их совместной работы, надо обе части полученного равенства поделить на два.

Чтобы ответить на главный вопрос задачи и найти время работы всех четверых участников, надо работу 1 единицу разделить на полученную производительность 1/50 (ед./мин).

Таким образом, все четыре героя из Простоквашино смогут выкрасить забор за 50 минут.

 50 минут.

Первая труба наполняет резервуар на 5 минут дольше, чем вторая. Обе трубы вместе наполнят этот резервуар за 6 минут. За сколько минут наполняет этот резервуар первая труба?

Е:

.

Тогда можно выразить производительность работы первой и второй труб. Производительность их совместной работы равна сумме производительностей каждой трубы, значит:

По условию задачи сказано, что вместе две трубы наполняют резервуар за 6 минут. Следовательно, их производительность равна 1 /6 резервуара в минуту. Получили уравнение

Приведём дроби к общему знаменателю и перенесём всё в левую часть, имеем

 = 2.

По смыслу задачи время работы первой трубы должно быть больше 5, так как по условию задачи первая труба наполняет резервуар на 5 минут дольше, чем вторая.

.

Таким образом, первая труба наполняет резервуар за 15 минут. Мы ответили на главный вопрос задачи.

 15 минут.

Три самосвала разной грузоподъёмности возят груз. Он будет вывезен полностью, если все они сделают по 8 рейсов. Груз также будет вывезен, если первый самосвал сделает 4 рейса, второй – 2 рейса, третий – 16 рейсов. Если первый и третий совершат соответственно 6 и 12 рейсов, то сколько рейсов нужно сделать второму, чтобы весь груз был вывезен? 

Е:

В условии задачи нет единиц измерения массы груза, следовательно, весь груз примем за 1 единицу.

Введём переменные:

 – доля груза, который помещается на первый самосвал;

 — доля груза, который помещается на второй самосвал;

 – доля груза, который помещается на третий самосвал;

 — количество рейсов, которое нужно сделать второму самосвалу, чтобы весь груз был вывезен.

По условию задачи груз будет вывезен полностью, если все самосвалы сделают по 8 рейсов, значит, составим уравнение

8x + 8y + 8z = 1.

второй –2 рейса, третий – 16 рейсов, значит, получим ещё одно уравнение:

4x + 2y + 16z = 1.

нужно сделать второму, чтобы весь груз был вывезен, тогда получим уравнение:

+ 12z = 1.

Рассмотрим систему трёх уравнений с четырьмя неизвестными:

второго и третьего уравнений. Для этого из удвоенных слагаемых второго уравнения вычтем соответствующие слагаемые первого уравнения, а затем из слагаемых третьего уравнения вычтем соответствующие слагаемые первого уравнения, умноженные на 0,75. Получаем новую систему уравнений:

 во втором и третьем уравнениях. Для этого из коэффициентов второго уравнения вычтем учетверённые соответствующие коэффициенты третьего уравнения. Получаем новое уравнение:

= 0.

.

Мы ответили на главный вопрос задачи: для вывоза всего груза второй самосвал должен сделать 5 рейсов.

 5 рейсов.

Примеры решения текстовых задач на производительность

.

Е:

Решим задачу алгебраическим способом.

Введём переменные:

 игрушек в час.

.

, значит, можно составить уравнение:

t – 0,5) = 5t.

8(t + 1,5) игрушек. Мы получили второе уравнение:

t +1) = 8(t + 1,5).

. Из первого уравнения имеем:

Из второго уравнения получим

, а именно:

Известно, что в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. Значит, получим уравнение:

р – 8) = (12 – р)(р – 5).

Раскрыв скобки, перенесём всё в левую часть уравнения и приведём подобные члены. Получаем квадратное уравнение

 – 21р + 60 = 0.

Обе части уравнения умножим на две третьих. Имеем квадратное уравнение:

.

10 игрушек в час.

 10 игрушек в час.

В бассейн проведены две труб – подающая и отводящая, причём через первую бассейн наполняется на 2 часа дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на одну треть бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым через 8 часов. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет бассейн?

Е:

Решим задачу алгебраическим способом.

Введём переменные.

Главный вопрос задачи заключается в определении количества часов, за которое первая труба, действуя отдельно, наполняет бассейн. Значит:

 – время работы первой трубы для заполнения бассейна в часах;

 – время слива воды из бассейна через вторую трубу в часах, так как по условию задачи через первую бассейн наполняется на 2 часа дольше, чем через вторую опорожняется.

Выразим объём бассейна через производительность подающей трубы, а именно, как одна третья бассейна плюс её производительность 1 делённая на t и умноженная на время работы трубы 8 часов

 – 2) и умноженная на время работы 8 часов

 Приведём дроби к общему знаменателю и упростим числитель.

Тогда получим уравнение

Известно, что дробь равна 0, если числитель равен 0. Решая квадратное уравнение

,

даёт ответ на главный вопрос задачи: первая труба заполняет бассейн за 8 часов.

 8 часов.

. Одновременно зажжены две свечи одинаковой длины, но разной толщины. Одна сгорает за 5 часов, а другая – за 4 часа. Через сколько минут были погашены одновременно две свечи, если от первой свечи остался огарок в 4 раза длиннее, чем от второй?

Е:

.

Введём переменную. Так как главным вопросом является количество минут одновременного горения свечек, то логично за переменную t часов обозначить это время.

минут одновременного горения свечек в часах.

. Также в условии сказано, что свечи разной толщины и одна из них сгорает за 5 часов, а другая – за 4 часа. Следовательно,

Выразим длину огарков после горения свечей в течение t часов.

По условию задачи от первой свечи остался огарок в 4 раза длиннее, чем от второй. Значит, составим уравнение

Раскрыв скобки и проведя алгебраические преобразования, получаем корень уравнения

.

Пример решения текстовых задач на грузоперевозки

Три автомашины перевозят зерно, загружаясь в каждом рейсе полностью. За один рейс первая и вторая машины перевозят вместе 6 тонн зерна, а первая и третья вместе за два рейса перевозят столько же зерна, сколько вторая за 3 рейса. Какое количество зерна перевозит за один рейс вторая машина, если известно, что некоторое количество зерна вторая и третья перевозят вместе, совершая в 3 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы третьей машине для перевозки того же количества зерна.

Е:

Решим задачу алгебраическим способом.

 тонн зерна за один рейс грузоподъёмность второй машины.

грузоподъёмность второй машины за один рейс в тоннах.

По условию задачи за один рейс первая и вторая машины перевозят вместе 6 тонн зерна, значит,

 – грузоподъёмность первой машины за один рейс в тоннах.

 – грузоподъёмность третьей машины в тоннах.

По условию задачи первая и третья машины вместе за два рейса перевозят столько же зерна, сколько вторая за 3 рейса. Тогда можем составить уравнение

2(6 – х + у) = 3х.

По условию задачи некоторое количество зерна вторая и третья машины перевозят вместе, совершая в 3 раза меньше рейсов, чем потребовалось бы третьей машине для перевозки того же количества зерна. Тогда можем составить уравнение

+ у = 3у.

.

. Получаем уравнение с одной переменной

2(6 – 0,5х) = 3х.

. Мы ответили на главный вопрос задачи 3 тонны зерна перевозит за один рейс вторая машина.

 

Литература:

. гос. ун-т, 2006 г.

Применение графических методов при решении текстовых задач. – Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005 г.

. гос. ун-т, 2003 г.

 

 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *